GEOMETRIA PIANA - LINEE SUL PIANO
RETTA E SUE PROPRIETA'
Nell'Introduzione è già stato spiegato che cosa si intenda per linea e che cosa per piano. Ebbene, se scegliete su un piano qualsiasi due punti A e B a piacere e tenete ben teso un filo sottilissimo fra queste due estremità, si ottiene un esempio di linea retta o retta.L'idea di linea retta ci è data anche dall'ostacolo saltato dall'ostacolo saltato da un cavallo in un concorso ippico.
La retta geometrica deve essere però pensata, contrariamente a ogni esempio concreto, come illimitata in tutti e due i sensi.
Va inoltre detto che per due punti passa una sola retta. Infatti, se provate a tendere un altro filo fra i punti A e B del piano, vi accorgerete che questo secondo filo si sovrappone esattamente al primo, in modo tale che resta una sola retta.
Ci si può anche rendere conto del fatto che per un punto passano infinite rette.
Come si è visto, due rette con due punti in comune sono sempre la stessa
retta: si può pertanto concludere che due rette distinte non possono avere più
di un punto in comune.
Le rette aventi un punto in comune si dicono secanti, e il punto in comune si
dice punto di intersezione.
Pensate come esempio di rette secanti al cartello stradale indicante gli incroci.
Bisogna ricordare infine che le rette, come le linee in genere, si indicano con le lettere minuscole: a, b, c,...
SEMIRETTA
Immaginate di porre un punto a caso sopra una retta. Questo punto, detto origine, dividerà la retta in due parti uguali che si prolungano entrambe all'infinito; queste parti sono dette semirette.Una semiretta si indica con due lettere maiuscole poste una sull'origine e l'altra su un punto qualsiasi di essa.
SEGMENTO
Poni ora sulla stessa retta due punti. La retta si dividerà allora in tre parti di cui quella contenuta fra i due punti è chiamata segmento. Le altre due parti esterne saranno invece delle semirette (fig. 101).
Il segmento rappresenta il cammino più breve intercorrente fra due punti; esso pertanto è chiamato anche distanza fra i due punti.
A questo proposito possiamo pensare al salto in lungo, e precisamente alla distanza fra il punto di stacco e quello di arrivo del saltatore.
Si chiamano consecutivi due segmenti aventi un estremo in comune.
Si chiamano invece adiacenti due segmenti che oltre ad avere un estremo in comune, giacciono su una stessa retta.
Chiameremo infine sovrapposti due segmenti quando giacciono sulla stessa retta, hanno un estremo in comune, e tutti i punti di uno di essi appartengono anche all'altro segmento.
AB e AC sono segmenti sovrapposti.
CONFRONTO DI SEGMENTI
Una caratteristica importante di tutte le figure che stiamo considerando è il fatto che possiamo sempre cambiare la loro posizione sul piano senza che esse subiscano delle deformazioni.Se prendiamo ad esempio una riga di legno rigido per rappresentare un segmento e la muoviamo tenendola sempre aderente al piano costituito da un tavolo ben levigato, notiamo infatti che la riga rimane sempre la stessa, non si deforma mai.
Questa caratteristica è molto importante nel caso dei segmenti, perché ci consente di confrontare fra loro due segmenti qualsiasi: infatti, per mezzo della riga o del compasso, si può trasportare un segmento e sovrapporlo all'altro facendo coincidere un estremo, per constatare la relazione che intercorre fra loro.
Supponendo di avere due segmenti AB e CD e di doverli confrontare, sovrapponiamo CD su AB, facendo coincidere il punto A con il punto C. Si possono presentare allora tre casi diversi, ciascuno dei quali rappresenta una relazione diversa:
L'estremo D coincide con l'estremo B. I due segmenti si dicono uguali e si scrive AB = CD.
L'estremo D giace all'esterno del segmento AB. In questo caso si dice che il segmento AB è minore del segmento CD e si scrive AB CD.
L'estremo D giace all'interno del segmento AB. In questo caso si dice che il segmento AB è maggiore del segmento CD e si scrive AB > CD.
OPERAZIONI SU SEGMENTI
Con i segmenti si possono eseguire varie operazioni.l) somma di segmenti. Dati i tre segmenti AB, CD, EF, fate in modo che essi risultino adiacenti. In questo modo otterrete un unico segmento AF, che è il risultato della somma dei tre segmenti di partenza (fig. 110).
La somma dei segmenti gode delle stesse proprietà di cui gode la somma dei numeri: la proprietà commutativa (AB + CD = CD + AB), la proprietà associativa [(AB + CD) + EF = AB + (CD + EF)] e quella dissociativa [AB + (CD + EF) = AB + CD + EF].
Risulta inoltre che: somme di segmenti uguali sono uguali.
2) differenza di segmenti. Dati due segmenti AB, CD, sovrapponeteli l'uno all'altro in modo tale che abbiano un estremo in comune.
La differenza dei due segmenti è allora il segmento BD, che sommato al minore AB dà il maggiore CD.
La differenza di segmenti gode della seguente proprietà: se si tolgono segmenti uguali da segmenti uguali le differenze sono uguali.
(Si deve fare attenzione al fatto che la differenza di segmenti deve essere compiuta sempre fra due segmenti alla volta).
3) multipli di un segmento. Dato un segmento AB, possiamo sommare un certo numero di segmenti uguali ad AB. In tal modo otterremo un segmento che si dice multiplo di AB secondo quel numero.
4) sottomultipli di un segmento. Il disegno precedente mostra che il segmento AH contiene il segmento AB precisamente quattro volte. Si dice allora che AB è il sottomultiplo di AH secondo il numero 4.
1
AB = - AH
4
Un caso particolare si verifica quando un segmento ne contiene un altro
esattamente due volte. Dato il segmento AC, esso contiene il segmento AB = BC
due volte.In questo caso il punto B viene chiamato punto medio di AC, perché divide lo stesso segmento in due parti uguali.
SPEZZATE E POLIGONI
Una linea formata da segmenti a due a due consecutivi si dice spezzata (fig. 114).
I segmenti che formano una spezzata sono detti lati; i punti che uniscono ogni lato a quello immediatamente successivo sono detti invece vertici della spezzata.
Una spezzata può essere di due tipi: aperta, come nel caso della figura a, oppure chiusa, come nel caso b.
Questi elementi permettono di giungere all'importante nozione di poligono. Si chiama infatti poligono la figura formata da una spezzata chiusa e dalla parte di piano da essa limitata.
I lati e i vertici di un poligono sono naturalmente i lati e i vertici della spezzata chiusa che forma il poligono stesso. Chiameremo perimetro la somma della lunghezza dei lati della spezzata; chiameremo invece superficie del poligono la parte di piano limitata dalla spezzata.
Un poligono con tre lati si dice triangolo, con quattro quadrangolo (o quadrilatero), con cinque pentagono, con sei esagono, ecc.
Il segmento che unisce due vertici non consecutivo di un poligono si dice diagonale del poligono.
Potete accorgervi del fatto che le diagonali che si possono tracciare da ogni vertice di un poligono sono in numero uguale al numero dei lati meno tre.
Per ottenere il numero complessivo delle diagonali di un poligono dovete moltiplicare il numero delle diagonali che escono da ciascun vertice per il numero dei vertici stessi e dividere poi il risultato per 2, al fine di non commettere l'errore di contare due volte una stessa diagonale. Avremo allora la seguente regola:
Indicando con n il numero dei lati di un poligono, il numero delle diagonali del poligono stesso è dato della formula:
n(n-3)
--------
2
PARABOLA, CIRCONFERENZA ED ELLISSE
- Un tipo particolare di linea aperta è la parabola. Per esser compresa a fondo questa linea richiede la conoscenza di nozioni matematiche particolarmente complesse; noi quindi ci limiteremo a ricordare l'esempio più classico di parabola, quello relativo alla traiettoria che assume una pallina scagliata con violenza.- Un'altra linea sul piano è la circonferenza. Più precisamente, la circonferenza è una linea chiusa sul piano, i cui punti sono tutti alla stessa distanza da un punto interno detto centro (fig. 120).
Una parte di circonferenza, ad esempio quella compresa fra il punto A e il punto C, si chiama arco (AC). La distanza dal centro di un punto qualsiasi della circonferenza, ad esempio del punto C, è chiamata raggio. Il doppio del raggio, corrispondente nel disegno al segmento AB, si dice diametro. Si chiama invece corda il segmento che unisce due punti della circonferenza senza passare per il centro; un esempio di corda è il segmento DE del disegno.
La circonferenza è una delle figure geometriche che più ci sono familiari.
La figura formata dai punti di una circonferenza e da tutti i punti interni a questa si chiama cerchio.
La circonferenza è quindi una linea, mentre il cerchio è una superficie. La parte di cerchio compresa fra due raggi si chiama settore circolare. E' detta invece segmento circolare la parte di cerchio contenuta fra un arco e una corda che hanno gli estremi in comune (fig. 122).
Chiameremo infine corona circolare la parte di piano compresa fra due circonferenze che hanno lo stesso centro ma raggi differenti (fig. 123).
Se considerate ora una circonferenza di centro O e il raggio OH e una retta s, queste due figure possono assumere fra loro tre diverse posizioni (fig. 124).
a) nel caso in cui la distanza OH della retta dal centro della circonferenza è maggiore del raggio OR, si dice che la retta s è esterna alla circonferenza.
b) nel caso in cui OH invece e minore di OR si dice che s è secante la circonferenza.
c) il terzo caso infine si ha quando OH e OR coincidono (OH = OR); si dice allora che s è tangente alla circonferenza.
- Un ultimo caso di linea chiusa è l'ellisse. La quale altro non è che una specie di circonferenza deformata in una direzione.
Esempi di ellisse sono l'orbita seguita dalla Terra nel corso dei suoi giri attorno al Sole e il bordo interno di una racchetta da tennis.
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VERO O FALSO?
1) Una retta divide un piano in due parti uguali.2) Il segmento è una parte di piano limitata da due punti.
3) La semiretta è una linea illimitata.
4) Si dicono adiacenti due segmenti aventi un estremo in comune.
5) Per confrontare due segmenti basta sovrapporli e constatarne l'eventuale differenza.
6) La figura formata da segmenti a due a due consecutivi e dalla parte di piano da essi limitata è chiamata poligono.
7) Si dice segmento circolare la parte di circonferenza compresa fra due punti.
8) Chiamiamo corona circolare la parte di cerchio compresa fra due circonferenze aventi lo stesso centro e raggi differenti.
1) Vero. 2) Falso: è una parte di retta. 3) Vero: bisogna però precisare che e illimitata in un solo senso. 4) Falso: bisogna aggiungere che giacciono sulla stessa retta. 5) Falso: bisogna che un estremo di entrambi i segmenti coincida. 6) Falso: bisogna aggiungere che la linea spezzata è chiusa. 7) Falso: la parte di circonferenza compresa fra due punti si chiama arco. 8) Vero.
ESERCIZI
- Disegnate quattro punti non allineati e tutte le rette passanti per ciascuna coppia di punti.- Disegnate una linea chiusa utilizzando quattro segmenti consecutivi diversi.
- Dati due segmenti AB,CD tali che ABCD costruite la loro semidifferenza.
- Un poligono di tre lati ha il perimetro di cm 102 e un lato di cm 42. Disegnate la figura e trovate le misure degli altri due lati sapendo che uno è doppio dell'altro. (In questo problema abbiamo introdotto come sistemi di misura i centimetri anche se le misure adottate in geometria saranno trattate in un capitolo a parte. In questo caso non sussistono comunque particolari difficoltà).
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